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棋牌问答 【群论入门】(10)排列与对称群


发布日期:2022-03-21 08:58    点击次数:111


现实生活中,常会遇到重新安排事物顺序的场景,比如洗牌、整理书架等。在数学中,重新安排对应排列(permutations)。对 个不同的事物有 种不同的排列方法。本文介绍的对称群(Symmetric Groups),可从排列中很自然的产生。凯莱定理(Cayley's theorem)说:排列——这种工具足够强大,可用来建立任意群。Arthur Cayley (1821-1895)假设有5个对象,可用以下形式来表示排列第 和第 个元素对换: ,第1行是从1到5的序号,第2行是重新排列后的顺序。如果视排列为函数 ,第一行为输入,第二行为输出。那么排列 与排列 的续贯操作,就如同函数组合(function composition) 。比如:排列 续贯操作等于 。注意函数组合是从右向左的,以1为例: ;以2为例: .来源:https://www.mathsisfun.com/sets/functions-composition.html这种表示方法不够高效,下面将介绍更简洁的循环表示法,以 为例, ,表示为 ; ,表示为 ,整体表示为 ,称为循环分解(cycle decomposition)。 由3个元素组成,称为“3-cycle”, 由两个元素组成,称为“2-cycle”,“2-cycle”也称换位(Transposition)。若两个cycle没有重复的元素,则它们的顺序可互换,如: 。若两个cycle存在重复元素,则不能互换顺序,如 ,LHS: ; RHS: .对上例略作变化: 可以表示为: ,注意到其中包含了2个1-cycle: ,由于1-cycle没进行任何改变,故可略去不写,故最终结果可表示为 。其实,未必要从 开始,也可从 开始,于是:结果表达为 ;同样的,如果从 开始,结果表示为 ,上面3个cycle是等价的。习惯上,选择最小的数作为开始,本例为 。排列与群的概念很吻合,在“群的定义”一文中,我们定义了群的概念如下,逐条对下,排列都满足:群G(Group)的元素属于一个集合 如果对一个特定collection中的元素进行排列,比如数字1,2,3,得到了一个包含 个元素的集合,下面几点可以自行考虑下;G对应的二元操作(Binary Operation)以 表示;封闭性(Closed under operation): 对G的两个元素进行任何操作,结果仍在集合内,即: for all ;恒等元(Identity): 存在一个元素 ; 逆(Inverse): 对每一个 的元素 ,都存在一个元素 ,使得 每种排列都可逆;结合律(Associativity): . 个对象所有的重新排列组成对称群 表示对称 Symmetric. S4的凯莱图 来源:Visual Group Theory上图是 的凯莱图,为了不太拥挤,具体数字没有标。 个对象,其凯莱图是被“砍掉”8个角的立方体,被称为“Truncated Cube”。虽然对 个对象进行排列构成一个群,但是建立一个排列群并非一定需要所有的排列,通常 的子集就可以构成群,一种著名的方法就是取一半 的元素,构成交错群 ,但是并非随意选一半都能构成群,但如果选取 中每个元素并对其进行平方,平方后得到的元素整好是 的一半,称为交错群(Alternating Group) 。下图说明了 的形成过程,左边是 ,右边是平方后的元素,6个元素中的4个相同,都是恒等元素,什么变化都不做(2个元素交换两次,打回原形),故右侧实际包含3个不变的元素,是左边的一半,这三个元素就是 A3 来源:Visual Group Theory题图是柏拉图固体(Platonic solids),柏拉图固体是种三维的多面体,其中每个面都是(每个角相等,每条边相等)正多边形。柏拉图固体只有图中的5种(可证明)。A4的凯莱图 来源:Visual Group Theory四面体的对称群是 ,包含了4个对象所有排列的一半。立方体和八面体都对应同一个对称群 ,这也是为什么 的凯莱图类似立方体的原因。十二面体和二十面体都对应同一个对称群 ,其大小为 ,可分别以“砍角的”十二面体和二十面体来显示。A5的凯莱图 来源:Visual Group Theory

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