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（手写不想看系列 ，实在不想看就先点个赞再收藏呗。）做排列组合题要注意什么？不重不漏，很多老师都喜欢这么说。然而，说了也白说。废话，怎么个不重不漏？喜欢追根究底的我对大多数老师的这种态度感到失望，为什么不具体解决这个问题呢？网课听了一堆，知乎上相关文章也看了不少，我竟没发现一篇关于解决这个问题的文章，要么就是知识点图片的无脑罗列，要么就是在关键问题上浅尝辄止（当然，好文章也是有不少的啦，这句话不针对他们）。所以，我就不回避痛点，帮你们彻底根除这个问题。首先如果是“漏”就很容易解决，一般看看答案就知道自己哪漏了。但“重”就没那么好解决了。所以本文主要为解决“重”的问题而写，而重复主要是由保底法造成的，所以本文重点探究保底法造成重复的原因是什么。适用于基础较好但总是错的或是对排列组合感兴趣的同学。如果你基础不好可以看看这篇再来哦。为了防止引起误解，学校老师一般不会教，所以，基础不好的现在跑还来的及哈哈 。其他人一定要坚持看完本文，坚持到最后会大有裨益。首先来个最简单的重复问题（觉得简单可跳过此题）。而很多解答都是这样:不是说它错了，而是这样让有的人一头雾水，其实这不能怪你们，很多老师都这么教的，但这样想容易错，也不利于我后面的讲解。给出规范答案:第一个式子除以A33是为了消掉分组过程中重复的顺序，暂且叫它“消序”好了，这是最简单的消序，几个人数相同的组就除以A几几，很多人都是直接记住这一点但不知道是为什么。不过这对高考来说足够了（公考的可以继续 ）。前面都是铺垫，正文开始。这是2018全国卷一的一道简单题，但易错。保底法:先选一女，剩下的5个中管他男女随便选2个20种然而这是个典型的错误。如果用分类讨论法:分类讨论法再回到刚才的保底法，到底哪里重复了呢？假设女为A1,A2.男B1,B2,B3,B4.这两种情况取的都是A1,A2,B1.为重复的然后把上图B1分别改为B2，B3，B4。就又是三组，一共4组重复，20-4＝16，搞定。还有一道著名的分医生问题还是保底法:保底法然后再分析重复的情况，不过这次是取三次了。设男A1,A2,A3,A4,A5.女B1,B2,B3,B4.从左到右共三列，第一列为取第一次，第二列为第二次，第三列为第三次。 序号①②为两种重复的种类，记为一组重复上图只列举了一组重复的情况。然而这样一组组的列举就显得有点鸡肋。那有没有别的办法？废话，当然有了，不然怎么彻底根除你们的问题?我们既然列举不尽重复的情况，那就用公式算出重复的种数。细心的人会发现每一组重复有两种，减去其中一种就行了。但共有几组重复呢？可能造成重复的只有两男一女和两女一男这两大类。再用上文保底法算出的140减去70得出的答案就是70种。再来看看官方解答:间接法都是女医生是C43,官方解答的C41纯属扯蛋，别被误导了。间接法正解感谢@Vzxx3 提醒直接法（即分类讨论）和间接法（即反面考虑）都可以避免重复，但本文重点为了是找出重复的原因，所以主要采用保底法。现在开始升华。将问题推广到n个，我看你怎么一个个讨论 。有两个盒子,A盒子和B盒子，A盒子里有n个小球，记为A1，A2，A3…An,同样B盒子里有m个小球记为B1,B2,B3…Bm,从两个盒子中共取两个小球，要求至少有一个A盒中的球，那么有几种取法？（n，m≥2，且属于N+）取两次，第一列为第一次，第二列为第二次。序号①②为两种重复的种类，记为一组重复。解释一下，第一次选的只能是A中球，第二次选的是剩余的球，若第二次选的是B中球，那么就构成不了重复。所以第二次选的是A中球就会有重复，上图给出了一组，每组两种。还是一样，减去其中一种就行了。保底法如果你尝试分类讨论分类讨论法呃，好像保底法更复杂。不过别担心，都是对的。不信自己算算。将题目推广到取x个，也就是当取x个小球时有多少种取法?（其他条件不变，n，m≥x，且属于N+）下面是两种方法得出的最终结果保底法，用红笔加了一个“+”分类讨论法下面给出保底法的详细证明过程求出取两个A球时的重复种数求出共取三个A球时重复种数，并推理出取k个A球时的重复种数加起来就是所有的重复种数，最终得出结果在此感谢@NiceMe指正，这是他证明的讨论法－保底法种数=0当然有也人提出间接法（即反面考虑）更简单，既然这么多人知道那就没有必要写了。但是考试时还是推荐用分类讨论和间接法，节省时间。本文只是培养数学思维而已，保底法了解一下就行了，排列组合题很容易错，如果保底法没懂透最好别用，只有自己最熟悉的方法才是正确率最高的方法。恭喜你坚持到了最后，由于我没电脑，所以就手机来码图了 。创作不易，求个三连。了解我更多可以看看这个。下一篇

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